πの部屋

（３）配列のサイズ

・さて，計算の前準備ができました。これから本格的に手順を考えます。
(A)の級数についてまず考えます。これができれば，他の(B)及び(C)もまったく同様に計算できます。
・説明を具体的にするために，10,000進法で，1,000桁計算するものとします。
配列変数は，例えば，S[1]，S[2]・・・を考え，計算の結果等はこの配列変数に収めるものとします。 S[1]が一番上位の桁とし，S[2]，S[3]と増えるにつれ，下位の桁を収めるものとします。計算する項数は，表１より555項までです。

・10000進法は適当にきめたわけではありません。理由があります。使用する変数は、長整数型で，表せる数値範囲は， 0～ 4,294,967,295 です。これは9.6桁に相当します。計算の途中では、加減乗除算が出てきますが、その中でも乗算はオーバーフローが発生する可能性があります。（C)の分母 239での乗算を考えると

239×239×10000 = 571,210,000 < 4,294,967,295
ですが、100000進法では、

239×239×100000 = 5,712,100,000 > 4,294,967,295
となって桁があふれてしまいます。
・次に，必要な配列の長さを決めます。上で説明したとおり10000進法を使用するわけですから，配列要素1つには4桁の数値が収まります。従って，

となります。この式で1ではなく2を加算している理由は，整数部分つまり3を収める部分が必要だからです。小数点以下の桁数ばかりに留意すると，この3を忘れがちですね。

(4)計算の手順

上のように変形すると，式の本質が見えてきます。なんのことはない，項比が1/8^2の等比数列の各項を2n-1で除算したのものということです。これから，考えると，

a(n)を計算し，その結果を保管する。これは次のa(n+1)の計算に使用する。
a(n)を2n-1で除算し，この結果を最終結果に加算する。

と言う方針で計算できそうです。すると，少なくとも表2に示す3つの配列変数が必要になります。

表2-2 配列変数

変数名	意味
A[i]	196/82及び，その1/82倍を保管する
D[i]	A[i]を2n-1で除算した結果を保管する
P[i]	各項の合計値を保管する。最終的には，②’と③’の結果も加算する。

注意：A[i]，D[i]は第n項の値のみを一時保管するだけです。
これらに対し，P[i]は第1項から第n項までの総ての和を保管します。

さて，計算の手順を最初の3項に対して書いてみます。

n = 1

196/8^2を計算して結果を配列A[i]へ退避する。
A[i](i:1から最大配列要素まで) ＜-

その内容をP[i]へ格納する。
P[i]（ i:1から最大配列要素まで＜- A[i]

n = 2

A[i]に対して，8^2で割りその結果をA[i]へ退避する。

A[i] ＜- A[i]/8^2

[i]の内容を3で割りその結果をD[i]へ退避する。

A[i]/3 -> D[i]

P[i]の内容からD[i]を減算し，その結果をP[i]へ格納する。

P[i] - D[i] -> P[i]

n = 3

A[i]に対して，82で割りその結果を再び配列A[i]へ退避する。

A[i]＜-A[i]/8^2
A[i]内容を5で割りその結果をD[i]へ退避する。

D[i] ＜- A[i]/5

P[i]の内容からD[i]を加算し，その結果をP[i]へ格納する。

P[i] ＜- P[i] - D[i]

となります。表2の変数の説明をもう一度確認してください。これで，A，D，Pの用途が明確になったかと思います。後はこれをn=555まで繰り返せばよい分けです。

②’及び③’についても形式がまったく同様であることから，同じ考え方で計算できることはあきらかでしょう。
で，最後に，P[i]を出力すれば終わりです。コードの例を次頁に示します。

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